Phương trình, Phương trình bậc nhất, Phương trình bậc hai

Phương trình bậc nhất, bậc hai là một chủ đề không quá khó đối với hầu hết học sinh, nhưng nó vẫn yêu cầu một nền tảng kiến thức vững chắc để áp dụng hiệu quả vào bài tập. Bài viết này kienthucthpt sẽ cung cấp một hệ thống kiến thức đầy đủ và dễ nhớ, giúp học sinh dễ dàng hấp thụ thông tin và rèn luyện kỹ năng qua các bài tập hiệu quả.

Lý thuyết về phương trình bậc nhất và bậc hai

Phương trình bậc nhất và bậc hai là những phương trình cơ bản được biểu diễn qua hàm số tuyến tính hoặc bậc hai của biến số x. Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá cấu trúc và giải các phương trình này một cách chi tiết.

Phương trình bậc nhất

Phương trình bậc nhất có dạng chung là y = ax + b (với a ≠ 0). Dựa trên giá trị của các hệ số a và b, ta có các kết quả sau:

• Khi a ≠ 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = – b/a.
• Khi a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
• Khi a = 0 và b = 0: Phương trình có vô số nghiệm, tức là mọi x đều là nghiệm.

Lưu ý: Phương trình ax + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất với một ẩn x.

>> Xem thêm: Tập hợp là gì?

Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai được biểu diễn bởi công thức tổng quát: a² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Đặc điểm của phương trình này được xác định bởi biệt thức Δ = b² –  4ac:

• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ = (– b ± √Δ) / 2a.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có một nghiệm kép x = – b / 2a.
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

Lý thuyết định lý Vi-ét | Toán 10 KNTT

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có hai nghiệm là x₁ và x₂, ta có thể tính tổng và tích của hai nghiệm này theo công thức của Vi-ét:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = – b/a.
• Tích hai nghiệm: x₁x₂ = c/a.

Ngược lại, nếu biết tổng (u+v) và tích (uv) của hai nghiệm x₁ và x₂ là các số thực, ta có thể tìm được phương trình có dạng x² – Sx + P = 0, trong đó S và P tương ứng là tổng và tích của hai nghiệm đó.

>> Xem thêm: Tổng và hiệu của hai vectơ

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không dấu giá trị tuyệt đối.\

Ví dụ 1. Giải phương trình |x – 3| = 2x + 1. (3)

Giải

a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = –4.

Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành –x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = \(\frac{2}{3}\)

Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = \(\frac{2}{3}\)

Phương trình chứa dấu căn

Phương pháp chung để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là đặt điều kiện rồi lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức.

Ví dụ 2. Giải phương trình \(\sqrt{2x – 3}\) = x – 2 (4).

Giải.

Điều kiện của phương trình (4) là x ≥ \(\frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) => 2x – 3 = x² – 4x + 4

=> x² – 6x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2 .

Cuối cùng, việc nắm vững phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học toán nâng cao. Hãy tiếp tục luyện tập để đạt được kết quả tốt nhất và đừng quên truy cập trang kienthucthpt.com để khám phá nhiều tài liệu học tập hữu ích khác nhé!