Cấp số nhân là gì?
– Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số thứ hai, mỗi số đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
– Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
– Cấp số nhân (un) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi sau:
un = un–1 . q với n ≥ 2.
Lưu ý: Dãy số không đổi a, a, a, …. là một cấp số nhân với số hạng đầu là a và công bội q = 1.
Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2. Hãy viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân này.
Hướng dẫn giải chi tiết:
5 số hạng đầu của cấp số nhân này là:
- u1 = 3
- u2 = u1 . q = 3 . 2 = 6
- u3 = u2 . q = 6 . 2 = 12
- u4 = u3 . q = 12 . 2 = 24
- u5 = u4 . q = 24 . 2 = 48.
Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 . qn–1 với n ≥ 2.
Ví dụ: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân này là 640 và số hạng thứ 10 là 2560. Hãy tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Giả sử u1 là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:
- u8 = u1 . q7 = 640 (1)
- u10 = u1 . q9 = 2560 (2)
Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), từ đó suy ra: q2 = 4, tức là q = 2 hoặc q = –2
- Với q = 2, ta tính được u1 = 5
- Với q = –2, ta tính được u1 = – 5 (loại vì u1 > 0 theo giả thiết)
Vậy số hạng thứ 15 của cấp số nhân đã cho là: u15 = u1 . q14 = 5 . 214 = 81920.
Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân (un) với công sai q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + …. + un. Khi đó:
Xem thêm: Hàm số lượng giác
Một số bài tập về công bội của cấp số nhân
Bài 1: Hãy xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của cấp số nhân: 1, 3, 9, …;
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta thấy: 3 : 1 = 3, 9 : 3 = 3
Suy ra công bội q = 3
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 3n–1.
Số hạng thứ 5: u5 = 35–1 = 81.
Số hạng thứ 100: u100 = 3100–1 = 399.
Bài 2: Cho dãy u1 = 2, un = nun–1. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát dưới dạng un = u1 . qn–1.
Hướng dẫn giải chi tiết:
5 số hạng đầu của dãy là: 2; 4; 12; 48; 240
Ta có: 4 : 2 = 2 ≠ 12 : 4 = 3 nên (un) không phải cấp số nhân.
Xem thêm: Cấp số cộng
Bài 3: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 10 240 và số hạng thứ 3 bằng 160. Hãy tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Giả sử u1 là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:
u6 = u1 . q5 = 10 240 (1)
u3 = u1 . q2 = 160 (2)
Lấy (1) chia vế theo vế (2) ta được: q3 = 64. Suy ra q = 4.
Với q = 4, ta tính được u1 = 10.
Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 10 . 4n–1
Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân này là u50 = 10 . 450–1 = 10 . 449.
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng qua bài viết này, các em có thể vận dụng vào việc giải quyết những bài tập cụ thể để xác định công bội của một cấp số nhân. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao.
Tác giả:
thaovy
Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.
