Vectơ trong không gian (Lý thuyết + Bài tập) | Kết nối tri thức

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và hai vectơ bằng nhau

– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

– Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được gọi là bằng nhau, ký hiệu \(\overrightarrow{a}\) = b, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

– Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ \(\overrightarrow{a}\) cho trước, có duy nhất điểm M sao cho \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{a}\)

– Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như \(\overrightarrow{AA}\), \(\overrightarrow{BB}\) gọi là các vectơ-không.

– Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được ký hiệu chung là \(\overrightarrow{0}\).

Tích của một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực k ≠ 0 với một vectơ \(\overrightarrow{a} ≠ \overrightarrow{0}\) là một vectơ, ký hiệu là k\(\overrightarrow{a}\), được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) nếu k > 0; Ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) nếu k < 0
• Có độ dài bằng \(|k| \cdot |\overrightarrow{a}|\)

$\mathrm{}$Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Chú ý:

• Quy ước \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\) nếu k = 0 hoặc \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\)  
  $\stackrel{}{}$
• Nếu k\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\) thì k = 0 hoặc \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\)
  $\stackrel{}{}$
• Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) ≠ 0 cùng phương là có một số thực k sao cho \(\overrightarrow{a}\) = k\(\overrightarrow{b}\) 
  $\stackrel{}{}$

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)

$\stackrel{}{}$Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho  \(\overrightarrow{OA}\)=\(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{b}\)

$\widehat{AOB} \ (0^\circ \leq \widehat{AOB} \leq 180^\circ)$được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) , ký hiệu là  \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\)

$$Chú ý:

• Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\)
  $\stackrel{}{}$trong không gian, ta có thể lấy điểm E sao cho \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}\) , khi đó \(\overrightarrow{AB},(-\overrightarrow{CD})\) = \(\angle BAE\)
• Quy ước góc giữa một vectơ bất kỳ và \(\overrightarrow{0}\)  có thể nhận một giá trị tùy ý từ
  $0^\circ$đến

  $180^\circ$.

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

>> Xem thêm: Tính đơn điệu của hàm số

Bài tập về vectơ trong không gian

Bài tập 1:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = 1, BC = 2, AA’ = 3

$$a) Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

b) Trong các vectơ \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BB}\), \(\overrightarrow{BA’}\), hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)

$\stackrel{}{}$c) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AA’}\)

Giải:

a) \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA’}\), \(\overrightarrow{AB’}\), \(\overrightarrow{AC’}\), \(\overrightarrow{AD’}\)

$\stackrel{}{}$b) Trong các vectơ \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BB’}\), \(\overrightarrow{BA’}\), hai vectơ \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BA}\) có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).

c) \(|\overrightarrow{AB}| = 1, |\overrightarrow{BC}| = 2, |\overrightarrow{AA’}| = 3.\)