Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto – Toán 12

Với giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kiến thức đời sống hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\mathbf{a} = (x, y, z)\) và \(\mathbf{b} = (x’, y’, z’)\). Ta có:
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = (x + x’, y + y’, z + z’)
\]
\[
\mathbf{a} – \mathbf{b} = (x – x’, y – y’, z – z’)
\]
\[
k\mathbf{a} = (kx, ky, kz)
\]
với \(k\) là một số thực.

Ví dụ 1: Cho hai vectơ \(\vec{u} = (-5 ; 1)\) và \(\vec{v} = (2 ; -3)\). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) \(\vec{u} + \vec{v}\);

b) \(\vec{u} – \vec{v}\);

c) \(-2\vec{v}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:
\[
\vec{u} + \vec{v} = (-5 + 2 ; 1 + (-3)) = (-3 ; -2).
\]

Vậy \(\vec{u} + \vec{v} = (-3 ; -2)\).

b) Ta có
\[
\vec{u} – \vec{v} = (-5 – 2 ; 1 – (-3)) = (-7 ; 4).
\]

Vậy \(\vec{u} – \vec{v} = (-7 ; 4)\).

c) Ta có \(-2\vec{v} = (-2 \cdot 2 ; -2 \cdot (-3)) = (-4 ; 6)\).

Vậy \(-2\vec{v} = (-4 ; 6)\).

Nhận xét: Hai vectơ \(\vec{u} = (x_1 ; y_1)\), \(\vec{v} = (x_2 ; y_2)\) (\(\vec{u} \neq \vec{v}\)) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực \(k\) sao cho \(x_1 = kx_2\) và \(y_1 = ky_2\).

Ví dụ 2: Hai vectơ \(\vec{u} = (-1 ; 2)\) và \(\vec{v} = (4 ; -8)\) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy \(4 = -4 \cdot (-1)\) và \(-8 = -4 \cdot 2\)

Do đó hai vectơ \(\vec{u} = (-1 ; 2)\) và \(\vec{v} = (4 ; -8)\) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ \(\vec{u} = (-1 ; 2)\) và \(\vec{v} = (4 ; -8)\) cùng phương.

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Trong không gian \(Oxyz\), tích vô hướng của hai vectơ \( \mathbf{a} = (x; y; z) \) và \( \mathbf{b} = (x’; y’; z’) \) được xác định bởi công thức:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = xx’ + yy’ + zz’
\]
Chú ý: Nếu \(A (x_1; y_1; z_1)\) và \(B (x_2; y_2; z_2)\), thì \(AB = |\overline{AB}| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}\).

>> Xem thêm: Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 (Chi tiết)

Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục tọa độ (đơn vị đo km), ra phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A(800,500,7)\) đến điểm \(B(940,550,8)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Giải:
Gọi \(C(x,y,z)\) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{BC}\) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}\).

Do đó,
\[
\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \left(\frac{940 – 800}{2}, \frac{550 – 500}{2}, \frac{8 – 7}{2}\right) = (70, 25, 0.5)
\]
Mặt khác, nên
\[
\begin{aligned}
x – 940 &= 70 \\
y – 550 &= 25 \\
z – 8 &= 0.5
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
x &= 1010 \\
y &= 575 \\
z &= 8.5
\end{aligned}
\]
Từ đó, vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \(C(1010,575,8.5)\).

Tổng kết