Processing math: 100%

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm | Kết nối tri thức

Home » Lớp 11 » Toán 11 » Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm | Kết nối tri thức

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm sách Kết nối tri thức chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Số trung bình và trung vị

Số trung bình

Cho mẫu số liệu x1,x2,x3,,xn

Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu, kí hiệu là ˉx, được tính bằng công thức:
ˉx=x1+x2+x3++xnn

Đối với mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số, số trung bình được tính như sau:
ˉx=m1x1+m2x2+m3x3++mkxkn


Với mi là tần số của giá trị xin=m1+m2++mk.

⇒ Ý nghĩa: Số trung bình là giá trị trung bình cộng, cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Trung vị

Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), ta dùng trung vị để đo xu thế trung tâm.

Ví dụ: Mẫu số liệu: 1, 3, 2, 3, 4, 20

Tìm trung vị:

Bước 1: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm X1,X2,,Xn.

Bước 2: Cỡ mẫu = n.

  • Nếu n lẻ (n=2k1) thì trung vị là Xk.
  • Nếu n chẵn (n=2k) thì trung vị bằng 12(Xk+Xk+1).

⇒ Ý nghĩa: Trung vị là giá trị ở vị trí chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường như số trung bình.

Tứ phân vị

Tứ phân vị gồm 3 giá trị Q1,Q2,Q3, chúng chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành 4 phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Tứ phân vị 1

Các bước tìm tứ phân vị:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tìm trung vị, chính là Q2.

Bước 3: Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).

Bước 4: Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).

Tứ phân vị 2

Chú ý:

Q1 còn được gọi là tứ phân vị thứ nhất hoặc tứ phân vị dưới.

Q3 còn được gọi là tứ phân vị thứ ba hoặc tứ phân vị trên.

Mốt

Mốt của một mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Ý nghĩa: Mốt được sử dụng để xác định xu hướng trung tâm của mẫu số liệu, đặc biệt hữu ích khi mẫu có nhiều giá trị lặp lại.

Nhận xét:

  • Mẫu số liệu có thể có nhiều hơn một mốt nếu có nhiều giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
  • Nếu tất cả các giá trị trong mẫu đều xuất hiện với tần số như nhau, mẫu số liệu đó không có mốt.

>> Xem thêm: Dãy số (Lý thuyết Toán 11) <<

Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Có lời giải)

Bài 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Tuổi thọ (tính theo năm) của 6 loại bóng đèn được ghi lại như sau:

19, 20, 31, 18, 26, 24

b) Số cân nặng (tính theo kg) của 9 học sinh lớp 10D được ghi lại như sau:

37, 37, 40, 42, 45, 40, 42, 42, 55

Hướng dẫn giải:

a) Tuổi thọ trung bình của 6 loại bóng đèn là:
19+20+31+18+26+246=23 (năm)

Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 1

Dãy trên có hai giá trị chính giữa lần lượt là 20 và 24.

Vậy trung vị của mẫu số liệu là:
20+242=22

Vì các giá trị 18, 19, 20, 24, 26, 31 trong mẫu số liệu đều xuất hiện với tần số như nhau (1 lần) nên mẫu số liệu này không có mốt.

Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q2 chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q2=22.

Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 1

Giá trị chính giữa lúc này là 19. Ta suy ra Q1=19.

Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 2

Giá trị chính giữa lúc này là 26. Ta suy ra Q3=26.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q1=19, Q2=22, Q3=26.

b) Số cân nặng trung bình của 9 học sinh lớp 10D là:
37+37+40+42+45+40+42+42+55942,22 (kg)

Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 4

Trung vị của mẫu số liệu là 42.

Ta thấy giá trị 42 xuất hiện với tần số cao nhất (3 lần) nên mốt của mẫu số liệu này là 42.

Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q2 chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q2=42.

Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 5

Dãy trên có hai giá trị chính giữa là 37 và 40. Do đó Q1=37+402=38,5.

Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 6

Dãy trên có hai giá trị chính giữa là 42 và 45. Do đó Q3=42+452=43,5.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q1=38,5, Q2=42, Q3=43,5.

>> Xem thêm: Mẫu số liệu ghép nhóm Toán 11 << 

Bài 2. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2019 – 2020 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0, 0, 9, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 6

a) Tìm số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Số lượng học sinh trung bình là:
0+0+9+0+0+4+0+0+0+610=1,9 (học sinh)

Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 7

Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 0.

Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 0.

Ta thấy giá trị 0 xuất hiện với tần số cao nhất (7 lần) nên mốt của mẫu số liệu này là 0.

Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q2 chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q2=0.

Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 8

Giá trị chính giữa lúc này là 0. Ta suy ra Q1=0.

Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:

Bài tập các số đặc trưng đo xu thế trung tâm 9

Giá trị chính giữa lúc này là 4. Ta suy ra Q3=4.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q1=0, Q2=0, Q3=4.

b) Vì mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên trái Q2, tức là trung vị, nên tứ phân vị thứ nhất Q1 và trung vị Q2 trùng nhau.

Trên đây kienthucthpt đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Hy vọng những kiến thức hữu ích này sẽ giúp các em trang bị thêm hành trang để tiếp tục chinh phục môn Toán. Chúc các em học tốt và đạt thành tích cao!

Tác giả:

Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.

Bài viết liên quan

Nếu bạn yêu thích gia đình Salim Long Hạt Nhài thì bộ sưu tập avatar Pam yêu ơi là cách thể hiện một fan cuồng của em bé Pam cute…

01/04/2025

Bộ sưu tập 100+ ảnh avatar em bé cute hài hước là lựa chọn lý tưởng cho những ai muốn mang đến phong cách đáng yêu, vui tươi cho trang…

01/04/2025

Nếu bạn đang tìm kiếm avatar dễ thương, đáng yêu, thì  500+ avatar capybara cute dưới đây sẽ là lựa chọn hoàn hảo. Từ hình ảnh capybara ngộ nghĩnh dễ…

01/04/2025