Công thức lượng giác lớp 11 cơ bản – Kết nối tri thức

Tóm tắt lý thuyết Bài 2: Công thức lượng giác lớp 11 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Công thức lượng giác cộng

$$\cos (a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$

$$\cos (a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$$

$$\sin (a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$$

$$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

$$\tan (a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}$$

$$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính $\sin 15^\circ$ và $\tan 15^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\sin 15^\circ = \sin\left(\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} – \cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} – \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1 – \sqrt{3}}{4}$$

Ta có:

$$\tan 15^\circ = \tan\left(60^\circ – 45^\circ\right) = \frac{\tan 60^\circ – \tan 45^\circ}{1 + \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}$$

Sử dụng phương pháp nhân với liên hợp:

$$\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} – 1} = \frac{(\sqrt{3} – 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} = \frac{3 – 2\sqrt{3} + 1}{3 – 1} = \frac{4 – 2\sqrt{3}}{2} = 2 – \sqrt{3}$$

Công thức nhân đôi

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

$$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a = 2 \cos^2 a – 1 = 1 – 2 \sin^2 a$$

$$\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}$$

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$$

$$\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$$

>>Xem thêm: Lý thuyết cấp số nhân

Ví dụ: Biết $\sin \alpha = \frac{2}{5}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ và $\tan 2\alpha$.

Hướng dẫn giải

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ nên $\cos \alpha > 0$.

Ta có:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 – \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$

$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

Ta có:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{4\sqrt{21}}{25}$$

$$\cos 2\alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha = 1 – 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 – \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$$

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$$

$$\Rightarrow \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{21}}{1 – \left(\frac{2\sqrt{21}}{21}\right)^2} = \frac{\frac{4\sqrt{21}}{21}}{1 – \frac{84}{441}} = \frac{\frac{4\sqrt{21}}{21}}{\frac{357}{441}} = \frac{4\sqrt{21} \cdot 21}{21 \cdot 17} = \frac{4\sqrt{21}}{17}$$

>> Xem thêm: Lý thuyết về ấp số cộng

Các công thức biến đổi tích thành tổng

$$\cos a \cos b = \frac{1}{2} \left[\cos(a – b) + \cos(a + b)\right]$$

$$\sin a \sin b = \frac{1}{2} \left[\cos(a – b) – \cos(a + b)\right]$$

$$\sin a \cos b = \frac{1}{2} \left[\sin(a – b) + \sin(a + b)\right]$$

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

a) $A = \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12}$;

b) $B = \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$$A = \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2} \left[\sin \left(\frac{7\pi}{12} – \frac{5\pi}{12}\right) + \sin \left(\frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}\right)\right] = \frac{1}{2} \left[\sin \frac{\pi}{6} + \sin \pi \right] = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} + 0\right] = \frac{1}{4}$$

Vậy $A = \frac{1}{4}$.

b) Ta có:

$$B = \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2} \left[\cos \left(\frac{\pi}{12} – \frac{7\pi}{12}\right) – \cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}\right)\right] = \frac{1}{2} \left[\cos \left(-\frac{6\pi}{12}\right) – \cos \left(\frac{8\pi}{12}\right)\right] = \frac{1}{2} \left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) – \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)\right] = \frac{1}{2} \left[0 – \left(-\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2}\right] = \frac{1}{4}$$

Vậy $B = \frac{1}{4}$.

Công thức biến đổi tổng thành tích

$$\cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u – v}{2}$$

$$\cos u – \cos v = -2 \sin \frac{u + v}{2} \sin \frac{u – v}{2}$$

$$\sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u – v}{2}$$

$$\sin u – \sin v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \sin \frac{u – v}{2}$$

Ví dụ: Cho $A = \cos \frac{\pi}{17} \cos \frac{4\pi}{17}$ và $B = \cos \frac{3\pi}{17} + \cos \frac{5\pi}{17}$. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$B = \cos \frac{3\pi}{17} + \cos \frac{5\pi}{17} = 2 \cos \frac{\frac{3\pi}{17} + \frac{5\pi}{17}}{2} \cos \frac{\frac{3\pi}{17} – \frac{5\pi}{17}}{2} = 2 \cos \frac{4\pi}{17} \cos \frac{-\pi}{17} = 2 \cos \frac{4\pi}{17} \cos \frac{\pi}{17}$$

Suy ra

$$\frac{A}{B} = \frac{\cos \frac{\pi}{17} \cos \frac{4\pi}{17}}{2 \cos \frac{4\pi}{17} \cos \frac{\pi}{17}} = \frac{\cos \frac{\pi}{17} \cos \frac{4\pi}{17}}{2 \cos \frac{4\pi}{17} \cos \frac{\pi}{17}} = \frac{1}{2}$$

Vậy $\frac{A}{B} = \frac{1}{2}$.