Dãy số (Lý thuyết Toán 11) | Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Định nghĩa về dãy số

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n).

Ta thường viết u_n thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi (u_n), do đó dãy số (u_n) được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂, u₃,…., u_n,…

Số u₁ gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu ∀n ∈ ℕ^*, u­_n = c thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ: Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8…

b) Dãy số (v_n) các số nguyên dương chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, …

c) Dãy số (q_n) các số chính phương: 1, 4, 9, 16, ….

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và số hạng tổng quát u_n = 2n.

b) Dãy số (v_n) có số hạng đầu v₁ = 3 và số hạng tổng quát v_n = 3n.

c) Dãy số (q_n) có số hạng đầu q₁ = 1 và số hạng tổng quát q_n = n².

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; …; m} với m ∈ ℕ^*, được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u₁, u₂, u₃,…., u_m.

Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.

Ví dụ: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Hướng dẫn giải:

a) Các số hạng của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

b) Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 18.

>> Xem thêm: Công thức lượng giác lớp 11

Những cách cho một dãy số

Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Khi đó \( u_n = f(n) \), trong đó \( f \) là một hàm số xác định trên \( \mathbb{N}^* \).

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của \( n \) (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được \( u_n \).

Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được \( u_n \) với \( n \) tuỳ ý.

Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

– Với \( n \ge 2 \), cho một công thức tính \( u_n \) nếu biết \( u_{n-1} \) (hoặc một vài số hạng đứng trước đó).

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

\[
\begin{cases}
u_1 = a \\
u_n = f(u_{n-1}), & n \ge 2
\end{cases}
\]

hoặc

\[
\begin{cases}
u_1 = a \\
u_2 = b \\
u_n = f(u_{n-1}, u_{n-2}), & n \ge 3
\end{cases}
\]

Dãy số tăng và dãy số giảm

– Dãy số \( u_n \) được gọi là dãy số tăng nếu \( u_{n+1} > u_n \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \);

– Dãy số \( u_n \) được gọi là dãy số giảm nếu \( u_{n+1} < u_n \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số \( (u_n) \):

Phương pháp 1:

Xét hiệu \( H = u_{n+1} – u_n \).

– Nếu \( H > 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) thì dãy số tăng.

– Nếu \( H < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

Nếu \( u_n > 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) thì lập tỉ số \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \), rồi so sánh với 1.

– Nếu \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) thì dãy số tăng.

– Nếu \( \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) thì dãy số giảm.

>> Xem thêm: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Dãy số bị chặn

– Dãy số \( u_n \) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số \( M \) sao cho

\[
u_n \le M, \, \text{với mọi} \, n \in \mathbb{N}^*
\]

– Dãy số \( u_n \) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số \( m \) sao cho

\[
u_n \ge m, \, \text{với mọi} \, n \in \mathbb{N}^*
\]

– Dãy số \( u_n \) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số \( m, M \) sao cho:

\[
m \le u_n \le M, \, \text{với mọi} \, n \in \mathbb{N}^*
\]