Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Toán12 Kết nối tri thức

Khi học về đại số trong chương trình toán lớp 12, kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một phần cơ bản và quan trọng, không thể bỏ qua. Vì vậy, các câu hỏi liên quan đến dạng toán này thường có thể xuất hiện trong đề thi THPTQG. Hãy cùng Kiến thức THPT ôn tập lý thuyết và luyện các dạng bài tập nhé!

Tiệm cận ngang

Đường thẳng \( y = b \) là tiệm cận ngang của \( (C) \) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = b
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = b
\]

Chú ý: Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, do đó trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, ta không cần tìm các tiệm cận này.

Tiệm cận đứng

Đường thẳng \( x = a \) là đường tiệm cận đứng của \( (C) \) nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thoả mãn:

\[
\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty
\]
\[
\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty
\]
\[
\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty
\]
\[
\lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty
\]

Tiệm cận xiên

Đường thẳng \( y = ax + b \) \((a \neq 0)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

\[
\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0
\]

Trong đó:

\[
\begin{cases}
a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \\
b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) – ax]
\end{cases}
\]
hoặc
\[
\begin{cases}
a = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} \\
b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) – ax]
\end{cases}
\]

>> Xem thêm: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

Ví dụ minh họa về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \( y = \frac{x + 1}{x – 2} \)

b) \( y = \frac{3 – 2x}{3x + 1} \)

Lời giải:

a) TXĐ: \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

Ta có:
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{x – 2} = 1
\]
nên đường thẳng \( y = 1 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do
\[
\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{x – 2} = +\infty; \quad \lim_{x \to 2^-} \frac{x + 1}{x – 2} = -\infty
\]
nên đường thẳng \( x = 2 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

b) TXĐ: \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\} \).

Vì
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 – 2x}{3x + 1} = -\frac{2}{3}
\]
nên đường thẳng \( y = -\frac{2}{3} \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vì
\[
\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} \frac{3 – 2x}{3x + 1} = +\infty; \quad \lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} \frac{3 – 2x}{3x + 1} = -\infty
\]
nên đường thẳng \( x = -\frac{1}{3} \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \( y = \frac{x^2 – 12x + 27}{x^2 – 4x + 5} \)

b) \( y = \frac{2 – x}{x^2 – 4x + 3} \)

Lời giải:

a) TXĐ: \( D = \mathbb{R} \), do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vì
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 – 12x + 27}{x^2 – 4x + 5} = 1
\]
nên đường thẳng \( y = 1 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) TXĐ: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\} \).

Vì
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 – x}{x^2 – 4x + 3} = 0
\]
nên đường thẳng \( y = 0 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vì
\[
\lim_{x \to 1^-} \frac{2 – x}{x^2 – 4x + 3} = +\infty
\]
nên \( x = 1 \) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vì
\[
\lim_{x \to 3^+} \frac{2 – x}{x^2 – 4x + 3} = -\infty
\]
nên \( x = 3 \) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có TCN là \( y = 0 \); TCĐ là \( x = 1 \) và \( x = 3 \).

>> Xem thêm: Vecto trong không gian

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \( y = \frac{2x^2 – 3x + 2}{x – 1} \)

b) \( y = x – 3 + \frac{1}{x^2} \)

Lời giải

a) \( y = \frac{2x^2 – 3x + 2}{x – 1} \)

Hàm số đã cho có tập xác định là \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Ta có
\[
\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 – 3x + 2}{x – 1} = -\infty; \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 – 3x + 2}{x – 1} = +\infty
\]
Do đó, đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\[
a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 – 3x + 2}{(x – 1)x} = 2;
\]
\[
b = \lim_{x \to +\infty} \left( y – 2x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x + 2}{x – 1} = -1
\]
Do đó, đường thẳng \( y = 2x – 1 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) \( y = x – 3 + \frac{1}{x^2} \)

Hàm số đã cho có tập xác định là \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Ta có
\[
\lim_{x \to 0^-} \left( x – 3 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty; \quad \lim_{x \to 0^+} \left( x – 3 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty
\]
Do đó, đường thẳng \( x = 0 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta cũng có
\[
\lim_{x \to +\infty} \left( y – (x – 3) \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0; \quad \lim_{x \to -\infty} \left( y – (x – 3) \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0
\]
Do đó, đường thẳng \( y = x – 3 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Trên đây là chia sẻ của kienthucthpt về kiến thức toán học 12 đường tiệm cận của đồ thị hàm số và ví dụ minh hoa dễ hiểu nhất. Hi vọng qua bài viết này các em sẽ nắm rõ hơn kiến thức và áp dụng vào các bài toán của mình thành công. Chúc các em đạt thành tích cao trong học tập.