Lý thuyết giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất toán lớp 12

Trong chương trình học Toán lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số là một kỹ năng quan trọng mà mỗi học sinh cần nắm vững. 

Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số, điển hình trong chương trình học, qua đó giúp các em học sinh có thể áp dụng thành thạo vào giải các bài tập liên quan. 

Kiến thức THPT sẽ đưa ra các ví dụ minh họa cụ thể, bao gồm cả lý thuyết và bài tập thực hành, để các em có thể hiểu rõ và vận dụng hiệu quả trong quá trình ôn tập và thi cử.

Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất lớp 12

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) \leq M, \forall x \in D \\
\exists x_0 \in D \text{ sao cho } f(x_0) = M
\end{array}
\right.
\]

Ký hiệu: \[M = \max_{D} f(x)\]

– Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên D

\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) \geq m, \forall x \in D \\
\exists x_0 \in D \text{ sao cho } f(x_0) = m
\end{array}
\right.
\]

Ký hiệu: \[m = \min_{D} f(x)\]

>> Xem thêm: Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập thường gặp | Toán 12

Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí

Nếu một hàm số liên tục trên một khoảng nào đó, thì nó sẽ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

Tìm các điểm \(x_i \in (a, b) \quad (i = 1, 2, \ldots, n)\) mà tại đó \(f'(x_i) = 0 \text{ hoặc } f'(x_i)\) không xác định

Tính \(f(a), f(b), f(x_i) \quad (i = 1, 2, \ldots, n)\)

Khi đó: \(max_{[a,b]} f(x) = \max \{f(a), f(b), f(x_i)\)

\(min_{[a,b]} f(x) = \min \{f(a), f(b), f(x_i)\)

>> Xem thêm: Vectơ trong không gian (Lý thuyết + Bài tập) | Kết nối tri thức

Ví dụ minh họa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất lớp 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3×2 – 9x + 2 trên đoạn [-2; 2]

Hướng dẫn

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt{4 – x^2}\)

Hướng dẫn