Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Kết nối tri thức

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Kết nối tri thức chi tiết nhất sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Góc lượng giác

Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

– Trong mặt phẳng, cho 2 tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm tròn mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

– Kí hiệu: (Ou, Ov).

– Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov kí hiệu là sđ(Ou, Ov).

Hệ thức Chasles

Với 3 tia \( \overrightarrow{Ou}, \overrightarrow{Ov}, \overrightarrow{Ow} \) bất kì ta có:

\[
\text{sđ}(\overrightarrow{Ou}, \overrightarrow{Ov}) + \text{sđ}(\overrightarrow{Ov}, \overrightarrow{Ow}) = \text{sđ}(\overrightarrow{Ou}, \overrightarrow{Ow}) + k \cdot 360^\circ.
\]

Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ:
\[
1^\circ = 60′
\]
\[
1′ = 60”
\]

Đơn vị radian:
\[
1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}
\]
\[
1 \text{ rad} = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ
\]

Độ dài cung tròn

Một cung tròn của đường tròn bán kính \( R \) và có số đo \( \alpha \) rad thì có độ dài
\[
l = R \alpha
\]

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm \( A(1;0) \) làm điểm gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \( \alpha \) (độ hoặc rad) là điểm \( M \) trên đường tròn lượng giác sao cho \( \text{sđ} (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}) = \alpha \).

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

Điểm \( M(x;y) \) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

\[
x = \cos \alpha, \quad y = \sin \alpha.
\]

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0).
\]

\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0).
\]

>> Xem thêm: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

Các công thức lượng giác cơ bản

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z})
\]

\[
1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \neq k\pi, \, k \in \mathbb{Z})
\]

\[
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (\alpha \neq \frac{k\pi}{2}, \, k \in \mathbb{Z})
\]

>> Xem thêm: Công thức lượng giác lớp 11

Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan)

Góc đối nhau (\(\alpha\) và \(-\alpha\))

\[
\sin(-\alpha) = -\sin \alpha
\]

\[
\cos(-\alpha) = \cos \alpha
\]

\[
\tan(-\alpha) = -\tan \alpha
\]

\[
\cot(-\alpha) = -\cot \alpha
\]

Góc bù nhau (\(\alpha\) và \(\pi – \alpha\))

\[
\sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha
\]

\[
\cos(\pi – \alpha) = -\cos \alpha
\]

\[
\tan(\pi – \alpha) = -\tan \alpha
\]

\[
\cot(\pi – \alpha) = -\cot \alpha
\]

Góc phụ nhau (\(\alpha\) và \(\frac{\pi}{2} – \alpha\))

\[
\sin\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cos \alpha
\]

\[
\cos\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \sin \alpha
\]

\[
\tan\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \cot \alpha
\]

\[
\cot\left(\frac{\pi}{2} – \alpha\right) = \tan \alpha
\]

Góc hơn kém \(\pi\) (\(\alpha\) và \(\pi + \alpha\))

\[
\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha
\]

\[
\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha
\]

\[
\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha
\]

\[
\cot(\pi + \alpha) = \cot \alpha
\]