Hệ thức lượng trong tam giác (Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Home » Lớp 10 » Toán 10 » Hệ thức lượng trong tam giác (Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Hệ thức lượng trong tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (ˆA=90), ta có:

1. b2=ab;c2=ac

2. Định lý Pitago : a2=b2+c2

3. ah=bc

4. h2=bc

5. 1h2=1b2+1c2

Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

a2=b2+c22bccosA(1)b2=a2+c22accosB(2)c2=a2+b22abcosC(3)

Hệ quả của định lí cosin:

cosA=b2+c2a22bccosB=a2+c2b22accosC=a2+b2c22ab

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, và AB=c. Gọi ma, mb, và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

m2a=2(b2+c2)a24m2b=2(a2+c2)b24m2c=2(a2+b2)c24

Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

asinA=bsinB=csinC=2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

S=12absinC=12bcsinA=12casinB(1)

S=abc4R(2)

S=pr(3)

S=p(pa)(pb)(pc)(công thức Hê-rông)(4)

Trong đó:
BC=a, CA=b, và AB=c; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và S là diện tích tam giác đó.

Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc, cạnh đã cho với các góc, các cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác

Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc

Dùng định lí sin để tính cạnh còn lại.

Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Dùng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.

Sau đó dùng hệ quả của định lí cosin để tính góc.

Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng hệ quả của định lí cosin để tính góc:

cosA=b2+c2a22bc

cosB=a2+c2b22ac

cosC=a2+b2c22ab

Chú ý:

  • Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2).
  • Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

>>Xem thêm: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1:Trong tam giác ABC, ta có

A. bc=2Rha

B. ac=Rhb

C. a2=Rha

D. ab=4Rhc

Lời giải:

Ta có:

12aha=abc4R

Suy ra:

ha=bc2Rhaybc=2Rha

Chọn đáp án A

Bài 2: Trong tam giác ABC, tìm hệ thức sai.

A. ha=bsinC

B. ha=csinB

C. hb=bsinB

D. chc=absinCa

Lời giải:

12aha=12absinC=12acsinB

Suy ra:

ha=bsinC=csinB

Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng.

12chc=12absinC

Suy ra:

chc=absinC

Suy ra mệnh đề đáp án D đúng.

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho tam giác ABCˆB=60,ˆC=45AB=5. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh AC?

A. 10

B. 562

C. 53

D. 52

Lời giải:

bsinB=csinCb=csinCsinB=5sin45sin60=562

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho tam giác ABCb=10,c=16 và góc ˆA=60. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh BC?

A. 2129

B. 14

C. 98

D. 269

Lời giải:

a2=b2+c22bccosA=102+16221016cos60=196

Suy ra:

BC=a=196=14

Chọn đáp án B.

>> Xem thêm: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 5: Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của ABBC bằng 3, cạnh AB=9^ACB=60. Tính độ dài cạnh BC.

A. BC=3+36

B. BC=363

C. BC=37

D. BC=3+333/2

Lời giải:

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

MN là đường trung bình của ΔABC.

MN=12AC. Mà MN=3, suy ra AC=6.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

AB2=AC2+BC22ACBCcos^ACB92=62+BC226BCcos60BC=3+36

Chọn đáp án A.

Bài 6: Cho tam giác ABCa=10,b=6c=8. Kết quả nào trong các kết quả sau là số đo độ dài của trung tuyến AM?

A. 25

B. 5

C. 6

D. 7

Lời giải:

m2a=b2+c22a24=62+8221024=25ma=5

Chọn đáp án B.

Bài 7: Tam giác ABC có ba cạnh là 5,12,13. Khi đó, diện tích tam giác là:

A. 30

B. 202

C. 103

D. 20

Lời giải:

p=a+b+c2=5+12+132=15

S=p(pa)(pb)(pc)=151032=900=30

Chọn đáp án A.

Bài 8: Tam giác ABCBC=a,CA=b,AB=c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S

B. 3S

C. 4S

D. 6S

Lời giải:

S=12BCCAsinC

Gọi S là diện tích tam giác khi tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C, ta có:

S=122BC3CAsinC=6S

Chọn đáp án D.

Trên đây là toàn bộ kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 . Hy vọng bài viết này sẽ là nguồn kiến thức hữu ích cho bạn trong quá trình học.

Tác giả:

Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.

Bài viết liên quan

Nếu bạn yêu thích gia đình Salim Long Hạt Nhài thì bộ sưu tập avatar Pam yêu ơi là cách thể hiện một fan cuồng của em bé Pam cute…

01/04/2025

Bộ sưu tập 100+ ảnh avatar em bé cute hài hước là lựa chọn lý tưởng cho những ai muốn mang đến phong cách đáng yêu, vui tươi cho trang…

01/04/2025

Nếu bạn đang tìm kiếm avatar dễ thương, đáng yêu, thì  500+ avatar capybara cute dưới đây sẽ là lựa chọn hoàn hảo. Từ hình ảnh capybara ngộ nghĩnh dễ…

01/04/2025