Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.
Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (ˆA=90∘), ta có:
1. b2=a⋅b′;c2=a⋅c′
2. Định lý Pitago : a2=b2+c2
3. a⋅h=b⋅c
4. h2=b′⋅c′
5. 1h2=1b2+1c2
Định lý cosin
Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.
Ta có các hệ thức sau:
a2=b2+c2–2bc⋅cosA(1)b2=a2+c2–2ac⋅cosB(2)c2=a2+b2–2ab⋅cosC(3)
Hệ quả của định lí cosin:
cosA=b2+c2–a22bccosB=a2+c2–b22accosC=a2+b2–c22ab
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, và AB=c. Gọi ma, mb, và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có
m2a=2(b2+c2)–a24m2b=2(a2+c2)–b24m2c=2(a2+b2)–c24
Định lí sin
Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là
asinA=bsinB=csinC=2R
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau
S=12absinC=12bcsinA=12casinB(1)
S=abc4R(2)
S=pr(3)
S=√p(p–a)(p–b)(p–c)(công thức Hê-rông)(4)
Trong đó:
BC=a, CA=b, và AB=c; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và S là diện tích tam giác đó.
Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
Giải tam giác: Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.
Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc, cạnh đã cho với các góc, các cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác
Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc
⇒ Dùng định lí sin để tính cạnh còn lại.
Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
⇒ Dùng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.
Sau đó dùng hệ quả của định lí cosin để tính góc.
Giải tam giác khi biết ba cạnh
Đối với bài toán này ta sử dụng hệ quả của định lí cosin để tính góc:
cosA=b2+c2–a22bc
cosB=a2+c2–b22ac
cosC=a2+b2–c22ab
Chú ý:
- Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2).
- Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.
>>Xem thêm: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1:Trong tam giác ABC, ta có
A. bc=2Rha
B. ac=Rhb
C. a2=R⋅ha
D. ab=4Rhc
Lời giải:
Ta có:
12a⋅ha=abc4R
Suy ra:
ha=bc2Rhaybc=2Rha
Chọn đáp án A
Bài 2: Trong tam giác ABC, tìm hệ thức sai.
A. ha=bsinC
B. ha=csinB
C. hb=bsinB
D. chc=absinCa
Lời giải:
12a⋅ha=12absinC=12acsinB
Suy ra:
ha=bsinC=csinB
Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng.
12c⋅hc=12absinC
Suy ra:
c⋅hc=absinC
Suy ra mệnh đề đáp án D đúng.
Chọn đáp án C.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ˆB=60∘,ˆC=45∘ và AB=5. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh AC?
A. 10
B. 5√62
C. 5√3
D. 5√2
Lời giải:
bsinB=csinC⇒b=c⋅sinCsinB=5⋅sin45∘sin60∘=5√62
Chọn đáp án B.
Bài 4: Cho tam giác ABC có b=10,c=16 và góc ˆA=60∘. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh BC?
A. 2√129
B. 14
C. 98
D. 2√69
Lời giải:
a2=b2+c2–2bccosA=102+162–2⋅10⋅16⋅cos60∘=196
Suy ra:
BC=a=√196=14
Chọn đáp án B.
>> Xem thêm: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 5: Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB=9 và ^ACB=60∘. Tính độ dài cạnh BC.
A. BC=3+3√6
B. BC=3√6–3
C. BC=3√7
D. BC=3+3√33/2
Lời giải:
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
⇒MN là đường trung bình của ΔABC.
⇒MN=12AC. Mà MN=3, suy ra AC=6.
Theo định lí hàm cosin, ta có:
AB2=AC2+BC2–2⋅AC⋅BC⋅cos^ACB⇒92=62+BC2–2⋅6⋅BC⋅cos60∘⇒BC=3+3√6
Chọn đáp án A.
Bài 6: Cho tam giác ABC có a=10,b=6 và c=8. Kết quả nào trong các kết quả sau là số đo độ dài của trung tuyến AM?
A. 25
B. 5
C. 6
D. 7
Lời giải:
m2a=b2+c22–a24=62+822–1024=25⇒ma=5
Chọn đáp án B.
Bài 7: Tam giác ABC có ba cạnh là 5,12,13. Khi đó, diện tích tam giác là:
A. 30
B. 20√2
C. 10√3
D. 20
Lời giải:
p=a+b+c2=5+12+132=15
S=√p(p–a)(p–b)(p–c)=√15⋅10⋅3⋅2=√900=30
Chọn đáp án A.
Bài 8: Tam giác ABC có BC=a,CA=b,AB=c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:
A. 2S
B. 3S
C. 4S
D. 6S
Lời giải:
S=12BC⋅CA⋅sinC
Gọi S′ là diện tích tam giác khi tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C, ta có:
S′=12⋅2BC⋅3CA⋅sinC=6S
Chọn đáp án D.