Khoảng biến thiên là một khái niệm cơ bản nhưng rất quan trọng trong toán học lớp 12. Tóm tắt lý thuyết khoảng biến thiên toán 12 cùng các ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán khó.
Khái niệm về khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên của một hàm số là khoảng mà hàm số thay đổi giá trị theo một hướng nhất định, tức là hàm số hoặc đồng biến (tăng) hoặc nghịch biến (giảm) trên khoảng đó:
Hàm số đồng biến trên một khoảng I nếu với mọi \(x_1, x_2 \in I \ \text{và} \ x_1 < x_2, \ \text{ta có} \ f(x_1) < f(x_2)\)
Hàm số nghịch biến trên một khoảng I nếu với mọi \(x_1, x_2 \in I \ \text{và} \ x_1 < x_2, \ \text{ta có} \ f(x_1) > f(x_2)\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Trong đó các tần số \(m_1 > 0, \ m_k > 0 \ \text{và} \ n = m_1 + \dots + m_k\) là cỡ mẫu.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = a_k + 1 – a_1\)
Ý nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Công thức khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên được tính bằng công thức:
\(R = X_{\text{max}} – X_{\text{min}}\)
Trong đó:
\(X_{\text{max}}\) là giá trị lớn nhất của mẫu số liệu,
\(X_{\text{min}}\) là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Cách tính khoảng biến thiên như thế nào?
Ví dụ 1 cách tính khoảng biến thiên Toán 12
Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:
| Thời gian (phút) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) |
| Số học sinh | 8 | 16 | 4 | 2 |
- a) Tính khoảng biến thiên RRR cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
- b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Câu a. Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Khoảng biến thiên được tính bằng công thức:
\(R = X_{\text{max}} – X_{\text{min}}\)
Trong đó:
\(X_{\text{max}}\) là giá trị lớn nhất của mẫu số liệu,
\(X_{\text{min}}\) là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Dựa vào bảng dữ liệu:
\(X_{\text{max}}\) = 45
\(X_{\text{min}}\) = 25
Do đó, khoảng biến thiên R là: R = 45 − 25 = 20 phút
Câu b. Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Với dữ liệu mới:
\(X_{\text{max}}\) = 43
\(X_{\text{min}}\) = 27
Do đó, khoảng biến thiên mới R′ là: R′ = 43 − 27 = 16 phút.
Ví dụ 2 khoảng biến thiên bài 9 Toán 12
Thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty được cho trong bảng sau:
| Thời gian | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) | [45; 50) |
| Số nhân viên | 6 | 14 | 25 | 37 | 21 | 13 | 9 |
Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn giải:
Khoảng biến thiên được tính bằng công thức:
\(R = X_{\text{max}} – X_{\text{min}}\)
Trong đó:
\(X_{\text{max}}\) là giá trị lớn nhất của mẫu số liệu,
\(X_{\text{min}}\) là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Dựa vào bảng dữ liệu:
\(X_{\text{max}}\) = 50
\(X_{\text{min}}\) = 15
Do đó, khoảng biến thiên R là: R = 50 − 15 = 35 phút
Việc hiểu và thực hành khoảng biến thiên sẽ mang lại lợi ích lớn cho học sinh trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các ví dụ minh họa cụ thể trong bài viết sẽ là công cụ hữu ích cho các em trong việc củng cố kiến thức.
<<Xem thêm>> Khoảng tứ phân vị là gì? Cách tính khoảng tứ phân vị Toán 12
Tác giả:
thaovy
Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.
