Khoảng tứ phân vị là gì? Cách tính khoảng tứ phân vị Toán 12

Khoảng tứ phân vị là một khái niệm thiết yếu trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh nhận diện mức độ phân tán của dữ liệu. Bài viết kèm theo phương pháp tính toán và các ví dụ minh họa cụ thể, nhằm hỗ trợ các em trong việc tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả.

Khoảng tứ phân vị là gì?

Khoảng tứ phân vị là một khái niệm trong thống kê dùng để đo lường sự phân tán của một tập hợp dữ liệu. Nó được xác định dựa trên ba phân vị chính:

• Q1 (Phân vị 1): Là giá trị phân chia 25% dữ liệu nhỏ nhất. Nghĩa là 25% các giá trị nằm dưới Q1.
• Q2 (Phân vị 2): Là giá trị trung vị, chia dữ liệu thành hai phần bằng nhau. 50% các giá trị nằm dưới Q2.
• Q3 (Phân vị 3): Là giá trị phân chia 75% dữ liệu nhỏ nhất. Nghĩa là 75% các giá trị nằm dưới Q3.

Khoảng tứ phân vị được tính bằng công thức:

Khoảng tứ phân vị = Q3 − Q1

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 3.1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \(\Delta Q\) là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba Q3 – Q1 của mẫu số liệu đó, tức là:

\(\Delta Q\ = Q3 – Q1\)

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Nhận xét: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.

Ví dụ về cách tính khoảng tứ phân vị

Ví dụ 1 cách tính khoảng tứ phân vị

Cho mẫu số liệu sau về điểm kiểm tra của 10 học sinh trong một lớp:

Điểm kiểm tra: 45, 67, 55, 78, 82, 90, 72, 88, 64, 76

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp các điểm từ nhỏ đến lớn: 45, 55, 64, 67, 72, 76, 78, 82, 88, 90

Tính Q2 (Phân vị thứ 2)

• Số lượng giá trị là 10 (chẵn), nên Q2 là trung bình của hai giá trị ở giữa (67 và 72):

\(Q_2 = \frac{67 + 72}{2} = 69.5\)

Tính Q1 (Phân vị thứ 1)

• Nửa dưới dữ liệu: 45, 55, 64, 67, 72 (5 giá trị)
• Q1 là giá trị giữa của nửa dưới, tức là giá trị thứ 3:

Q1=64

Tính Q3 (Phân vị thứ 3)

• Nửa trên dữ liệu: 72, 76, 78, 82, 88, 90 (5 giá trị)
• Q3 là giá trị giữa của nửa trên, tức là giá trị thứ 3:

Q3=78

Tính khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị=Q3−Q1=78−64=14

Kết quả

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 14.

Ví dụ 2 khoảng tứ phân vị Toán 12

Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu là 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi \((x_1, x_2, \ldots, x_{56})\) là thời gian truy cập Internet của 56 học sinh và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất là \(\frac{x_{14} + x_{15}}{2}\). Do \(x_{14}; \ x_{15}\) đều thuộc nhóm [12,5; 15,5) nên nhóm này chứa Q1;

Do đó \(Q_1 = \frac{12.5 + 56}{4 – 3} \cdot (15.5 – 12.5) = 15.25\)

Với tứ phân vị thứ ba là \(\frac{x_{42} + x_{43}}{2}\). Do \(x_{42}; \ x_{43}\) đều thuộc nhóm [18,5; 21,5) nên nhóm này chứa Q3.

Do đó \(Q_3 = \frac{18.5 + 56.3}{4 – 30} \cdot (21.5 – 18.5) = 20\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\Delta Q = Q_3 – Q_1 = 20 – 15.25 = 4.75.\)

Việc nắm vững và áp dụng lý thuyết khoảng tứ phân vị sẽ giúp học sinh cải thiện khả năng phân tích dữ liệu, từ đó nâng cao điểm số trong các bài kiểm tra. Kiến thức THPT  hy vọng rằng các ví dụ minh họa sẽ hỗ trợ các em trong việc củng cố kiến thức này.