Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12

Trong chương trình hình học không gian, bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian đóng vai trò quan trọng. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ lý thuyết cơ bản và công thức liên quan một cách ngắn gọn và chi tiết nhất.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\vec{u} \neq \vec{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(\Delta\)

Chú ý:

Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.

Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\) thì \(k \vec{u}\) (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\)

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình chóp S.ABCD.

Bài giải:

Đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CB}, \quad \overrightarrow{AD}, \quad \overrightarrow{DA}\) là các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\). Hệ phương trình \(\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{cases}\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) (t là tham số,\(t \in \mathbb{R}\)

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A(−1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (1; -2; 3)\)

Bài giải:

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A(−1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (1; -2; 3)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{x + 1}{1} = \frac{y – 1}{-2} = \frac{z – 2}{3}\)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \(A_1(x_1; y_1; z_1)\) và \(A_2(x_2; y_2; z_2)\). Đường thẳng \(A_1A_2\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 – x_1; y_2 – y_1; z_2 – z_1)\)

Đường thẳng A1A2 có phương trình tham số là: \(\begin{cases} x = x_1 + (x_2 – x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 – y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 – z_1)t \\ (t \in \mathbb{R}) \end{cases}\)

Trong trường hợp x1 ≠ x2, y1 ≠ y2, z1 ≠ z2 thì đường thẳng A1A2 có phương trình chính tắc là: \(\frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{z – z_1}{z_2 – z_1}\)

Ví dụ 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(1; −3; 2).

Bài giải:

Đường thẳng MN đi qua điểm M(1; 1; 1) nhận \(\overrightarrow{MN} = (0; -4; 1)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 – 4t \\ z = 1 + t \end{cases}\)

Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \quad \Delta_2\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1), \quad \vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\). Khi đó \(\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\)

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

\(d_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 – 4t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad \text{và} \quad d_2: \begin{cases} x = 1 + 2m \\ y = m \\ z = 2 + 2m \end{cases}\)

Chứng minh rằng hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Bài giải:

Ta có: \( \vec{u}_{d_1} = (1; -4; 1), \quad \vec{u}_{d_2} = (2; 1; 2). \) Vì: \( \vec{u}_{d_1} \cdot \vec{u}_{d_2} = 1 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0. \) Do đó, \(d_1 \perp d_2\).

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \quad \Delta_2\) lần lượt đi qua các điểm \(A_1(x_1; y_1; z_1), \quad A_2(x_2; y_2; z_2)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1), \quad \vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\). Khi đó:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \(d_1: \begin{cases} x = 10 – 3t \\ y = 10 – 4t \\ z = 3 – 2t \end{cases} \quad \text{và} \quad d_2: \begin{cases} x = m + 3 \\ y = 2m + 2 \\ z = 3m + 3 \end{cases}\). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.

Bài giải:

Xét hệ phương trình \(\begin{cases} 10 – 3t = m + 3 \\ 10 – 4t = 2m + 2 \\ 3 – 2t = 3m + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m + 3t = 7 \\ 2m + 4t = 8 \\ 3m + 2t = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -2 \\ t = 3 \end{cases}\)

Do đó hệ có nghiệm duy nhất nên d1 và d2 cắt nhau.

Kết thúc bài học ta có thể thấy lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian không chỉ đơn thuần là công thức mà còn giúp bạn phát triển tư duy toán học. Hãy áp dụng các công thức này để giải quyết các bài toán khó hơn sau này.

<<Xem thêm>> Lý thuyết Bài 14: Phương trình mặt phẳng lớp 12