Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 – Kết nối tri thức

Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình \( f(x) = 0 \) tương đương với phương trình \( g(x) = 0 \) thì ta viết
\[
f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0
\]

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình sin x = m

Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(|m| \leq 1\).

Khi \(|m| \leq 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:

\[
\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi – \alpha + k2\pi
\end{cases}
(k \in \mathbb{Z})
\]

Chú ý:

– Nếu số đo của góc \(\alpha\) được cho bằng đơn vị độ thì
\[
\sin x = \sin \alpha^\circ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \alpha^\circ + k360^\circ \\
x = 180^\circ – \alpha^\circ + k360^\circ
\end{cases}
(k \in \mathbb{Z})
\]

– Một số trường hợp đặc biệt:

\[
\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

\[
\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

\[
\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

Phương trình cos x = m

– Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(|m| \leq 1\).

– Khi \(|m| \leq 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in [0; \pi]\) thoả mãn \(\cos \alpha = m\). Khi đó:

\[
\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \alpha + k2\pi \\
x = -\alpha + k2\pi
\end{cases}
(k \in \mathbb{Z})
\]

Chú ý:

– Nếu số đo của góc \(\alpha\) được cho bằng đơn vị độ thì
\[
\cos x = \cos \alpha^\circ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \alpha^\circ + k360^\circ \\
x = -\alpha^\circ + k360^\circ
\end{cases}
(k \in \mathbb{Z})
\]

– Một số trường hợp đặc biệt:

\[
\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

\[
\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

\[
\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

>> Xem thêm: Hàm số liên tục là gì?

Phương trình tan x = m

Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi \(m\).

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:

\[
\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha\) được cho bằng đơn vị độ thì

\[
\tan x = \tan \alpha^\circ \Leftrightarrow x = \alpha^\circ + k180^\circ, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

Phương trình cot x = m

Phương trình cot x = m có nghiệm với mọi \(m\).

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in (0; \pi)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:

\[
\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha\) được cho bằng đơn vị độ thì

\[
\cot x = \cot \alpha^\circ \Leftrightarrow x = \alpha^\circ + k180^\circ, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

>> Xem thêm: Phép chiếu song song

Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1: Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian)

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: \(\text{SHIFT} \rightarrow \text{MODE} \rightarrow 3\) (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: \(\text{SHIFT} \rightarrow \text{MODE} \rightarrow 4\) (CASIO FX 570VN).

Bước 2: Tìm số đo góc

Khi biết \(\sin, \cos, \tan\) của góc \(\alpha\) ta cần tìm bằng \(m\), ta lần lượt ấn các phím \(\text{SHIFT}\) và một trong các phím \(\sin, \cos, \tan\) rồi nhập giá trị lượng giác \(m\) và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha\).