Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 – Kết nối tri thức

Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình $f(x) = 0$ tương đương với phương trình $g(x) = 0$ thì ta viết

$$f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0$$

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình sin x = m

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$.

Khi $|m| \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ thoả mãn $\sin \alpha = m$. Khi đó:

$$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$$

Chú ý:

– Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$$\sin x = \sin \alpha^\circ \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha^\circ + k360^\circ \\ x = 180^\circ – \alpha^\circ + k360^\circ \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$$

– Một số trường hợp đặc biệt:

$$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

$$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

$$\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

Phương trình cos x = m

– Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$.

– Khi $|m| \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in [0; \pi]$ thoả mãn $\cos \alpha = m$. Khi đó:

$$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$$

Chú ý:

– Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$$\cos x = \cos \alpha^\circ \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha^\circ + k360^\circ \\ x = -\alpha^\circ + k360^\circ \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$$

– Một số trường hợp đặc biệt:

$$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

$$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

$$\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

>> Xem thêm: Hàm số liên tục là gì?

Phương trình tan x = m

Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi $m$.

Với mọi $m \in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ thoả mãn $\tan \alpha = m$. Khi đó:

$$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$$\tan x = \tan \alpha^\circ \Leftrightarrow x = \alpha^\circ + k180^\circ, \, k \in \mathbb{Z}.$$

Phương trình cot x = m

Phương trình cot x = m có nghiệm với mọi $m$.

Với mọi $m \in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in (0; \pi)$ thoả mãn $\cot \alpha = m$. Khi đó:

$$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}.$$

Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$$\cot x = \cot \alpha^\circ \Leftrightarrow x = \alpha^\circ + k180^\circ, \, k \in \mathbb{Z}.$$

>> Xem thêm: Phép chiếu song song

Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1: Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian)

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: $\text{SHIFT} \rightarrow \text{MODE} \rightarrow 3$ (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: $\text{SHIFT} \rightarrow \text{MODE} \rightarrow 4$ (CASIO FX 570VN).

Bước 2: Tìm số đo góc

Khi biết $\sin, \cos, \tan$ của góc $\alpha$ ta cần tìm bằng $m$, ta lần lượt ấn các phím $\text{SHIFT}$ và một trong các phím $\sin, \cos, \tan$ rồi nhập giá trị lượng giác $m$ và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$.