Tích vô hướng của hai vecto là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học cấp THPT. Nó chiếm khoảng 10% trong các bài tập và câu hỏi của đề thi THPT Quốc Gia, vì vậy các em cần phải nắm vững nội dung này để có thể đạt được điểm cao nhất.
Dưới đây là toàn bộ kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10. Hãy lưu lại và thường xuyên ôn tập để làm chủ kiến thức này nhé!
Góc giữa hai vectơ
Cho hai vecto \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) khác \( \overrightarrow{0} \). Góc giữa hai vecto \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \), kí hiệu là \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \).
– Cách xác định góc: Chọn điểm A bất kì, vẽ \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{v} \). Khi đó, \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \widehat{BAC} \).
– Các trường hợp đặc biệt:
+) \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{0}) = \alpha \) tùy ý, với \( 0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ \).
+) \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 90^\circ \iff \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \) hoặc \( \overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{u} \). Đặc biệt: \( \overrightarrow{0} \perp \overrightarrow{u} \ \forall \overrightarrow{u} \).
+) \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0^\circ \iff \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) cùng hướng.
+) \( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 180^\circ \iff \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) ngược hướng.
Tích vô hướng của hai vectơ
– Tích vô hướng của hai vecto \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \):
\[
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})
\]
– \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \).
– \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 = |\overrightarrow{u}|^2 \).
Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho \( \overrightarrow{u}(x; y) \) và \( \overrightarrow{v}(x’; y’) \).
Khi đó:
\[
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x \cdot x’ + y \cdot y’
\]
Hệ quả:
– \( \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \iff x \cdot x’ + y \cdot y’ = 0 \).
– \( \overrightarrow{u}^2 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = x^2 + y^2 \).
– Tìm góc giữa hai vecto:
\[
\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} = \frac{x \cdot x’ + y \cdot y’}{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x’^2 + y’^2}}
\]
>> Xem thêm: Hệ thức lượng trong tam giác
Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài
Theo định lí cosin:
\[
\cos \widehat{BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}
\]
\[
\Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}
\]
Tính chất
Cho 3 vecto \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \) bất kì và mọi số thực \( k \), ta có:
\[
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}
\]
\[
\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}
\]
\[
(k \cdot \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k \cdot (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (k \cdot \overrightarrow{v})
\]
>> Xem thêm: Bất phương trình
Hệ quả
\[
\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} – \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} – \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}
\]
\[
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2 \cdot \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2
\]
\[
(\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 – 2 \cdot \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2
\]
\[
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 – \overrightarrow{v}^2
\]
Tổng kết
Như vậy, các em đã nắm được toàn bộ lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ một cách chi tiết và dễ hiểu qua bài viết trên của kienthucthpt.com. Để áp dụng hiệu quả vào các bài tập, các em cần ghi nhớ các công thức từ tính chất đến cách tính độ dài, góc và khoảng cách.
Tác giả:
thaovy
Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.
