Các tính chất tích phân – Tìm hiểu Tích phân là gì? Toán 12

Để hiểu rõ tích phân là gì, chúng ta cần khám phá các tính chất tích phân. Những tính chất này không chỉ quan trọng trong lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Tích phân là gì?

Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng trong chương trình toán học 12.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b]) của hàm số f(x), kí hiệu:

$\int_a^b f(x) \, dx$

Ta còn dùng kí hiệu $F(x) \Big|_a^b$ để chỉ hiệu F(b) – F(a).

Vậy $∫ab​f(x)dx=F(x)​ab​=F(b)−F(a)$

Ta gọi $\int_a^b$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

$\int_a^a f(x) \, dx = 0; \quad \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

Các tính chất tích phân

Tính chất 1: $\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx \quad (k: \text{const})$

Tính chất 2: $\int_a^b \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx$

Tính chất 3:$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \quad (a < c < b)$

Phương pháp tính tích phân toán 12

Phương pháp đổi biến số

Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số x = φ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [⍺, β] sao cho φ (⍺) = a, φ (β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∊ [⍺, β]. Khi đó:

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt$

Định lý 2: (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∊ [⍺, β]. Giả sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). u’(x), x ∊ [a, b] với g(x) liên tục trên đoạn [⍺, β]. Khi đó ta có:

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g(u) \, du$

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì:

$\int_a^b u v \, dx = \left[ u v \right]_a^b – \int_a^b v \, du$

Với những kiến thức về tích phân là gì và các tính chất tích phân ở bài viết trên, các em sẽ nắm bắt được các khái niệm cơ bản để có thể ứng dụng vào các bài toán.

<<Xem thêm>> Tìm hiểu phương sai và độ lệch chuẩn – Bài 10 Toán 12 KNTT