Để hiểu rõ tích phân là gì, chúng ta cần khám phá các tính chất tích phân. Những tính chất này không chỉ quan trọng trong lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tích phân là gì?
Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng trong chương trình toán học 12.
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b]) của hàm số f(x), kí hiệu:
\(\int_a^b f(x) \, dx\)
Ta còn dùng kí hiệu \(F(x) \Big|_a^b\) để chỉ hiệu F(b) – F(a).
Vậy \(∫abf(x)dx=F(x)ab=F(b)−F(a)\)
Ta gọi \(\int_a^b\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
\(\int_a^a f(x) \, dx = 0; \quad \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
Các tính chất tích phân
Tính chất 1: \(\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx \quad (k: \text{const})\)
Tính chất 2: \(\int_a^b \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx\)
Tính chất 3:\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \quad (a < c < b)\)
Phương pháp tính tích phân toán 12
Phương pháp đổi biến số
Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số x = φ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [⍺, β] sao cho φ (⍺) = a, φ (β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∊ [⍺, β]. Khi đó:
\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt\)
Định lý 2: (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∊ [⍺, β]. Giả sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). u’(x), x ∊ [a, b] với g(x) liên tục trên đoạn [⍺, β]. Khi đó ta có:
\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g(u) \, du\)
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì:
\(\int_a^b u v \, dx = \left[ u v \right]_a^b – \int_a^b v \, du\)
Với những kiến thức về tích phân là gì và các tính chất tích phân ở bài viết trên, các em sẽ nắm bắt được các khái niệm cơ bản để có thể ứng dụng vào các bài toán.
<<Xem thêm>> Tìm hiểu phương sai và độ lệch chuẩn – Bài 10 Toán 12 KNTT
Tác giả:
thaovy
Chào các bạn! Mình là Thảo Vy - Sinh viên K28 - Đại học Sư phạm Hà Nội. Với nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chuyên môn vững vàng, phương pháp sư phạm hiện đại và nhiệt huyết làm nghề hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất.
