Ứng dụng hình học của tích phân – Lý thuyết Toán 12 KNTT

Lý thuyết ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 mang lại cho học sinh cái nhìn sâu sắc về mối liên hệ giữa toán học và cuộc sống. Cùng tìm hiểu để khám phá những ứng dụng thú vị của nó!

Ứng dụng hình học của tích phân – Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), được tính bằng công thức $S = \int_a^b |f(x)| \, dx$

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số$y = \frac{x^3}{3}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2.

Bài giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = 2 \int_0^2 \left| \frac{x^3}{3} \right| \, dx = 2 \int_0^2 \frac{x^3}{3} \, dx = \frac{x^4}{12} \Big|_0^2 = \frac{4}{3}$

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b, được tính bằng công thức $S = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx$

Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì: 

$S = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx = \left| \int_a^b \left[ f(x) – g(x) \right] \, dx \right|$

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x3 – x; y = 3x và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Bài giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^1 \left| x^3 – x – 3x \right| \, dx = \int_0^1 \left| x^3 – 4x \right| \, dx = \int_0^1 (-x^3 + 4x) \, dx \\ = \left( -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right) \Big|_0^1 = \frac{7}{4}$

Ứng tích phân tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi ẞ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích V của phần vật thể ẞ được tính bởi công thức $V = \int_a^b S(x) \, dx$

Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 4) là một tam giác đều cạnh là $\sqrt{x} – 1$

Bài giải:

Diện tích thiết diện S(x) là:

$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sqrt{x} – 1 \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( x – 2\sqrt{x} + 1 \right)$

Do đó, thể tích vật thể cần tính là:

$V = 4 \int_1^4 S(x) \, dx = 4 \int_1^4 \frac{\sqrt{3}}{4} \left( x – 2\sqrt{x} + 1 \right) \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{x^2}{2} – \frac{4}{3} x^{3/2} + x \right) \Big|_1^4 = \frac{7\sqrt{3}}{24}$

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x Î [a; b] được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là $V = \pi \int_a^b \left( f(x) \right)^2 \, dx$

Ví dụ 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = $e^x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Bài giải:

Thể tích vật thể cần tính là:

$V = \frac{\pi}{3} \int_0^3 \left( e^{2x} \right) \, dx = \frac{\pi}{3} \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) \Big|_0^3 = \frac{\pi}{2} \left( e^6 – 1 \right)$

Qua bài viết về phần toán 12 ứng dụng của tích phân trong hình học ta có thể thấy ứng dụng hình học của tích phân không chỉ là một khía cạnh lý thuyết quan trọng, mà còn mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như xây dựng và thiết kế.

<<Xem thêm>> Các tính chất tích phân – Toán 12