Vectơ trong không gian (Lý thuyết + Bài tập) | Kết nối tri thức

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và hai vectơ bằng nhau

– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

– Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, ký hiệu $\overrightarrow{a}$ = b, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

– Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{a}$

– Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$ gọi là các vectơ-không.

– Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được ký hiệu chung là $\overrightarrow{0}$.

Tích của một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực k ≠ 0 với một vectơ $\overrightarrow{a} ≠ \overrightarrow{0}$ là một vectơ, ký hiệu là k$\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0; Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0
• Có độ dài bằng $|k| \cdot |\overrightarrow{a}|$

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Chú ý:

• Quy ước $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ nếu k = 0 hoặc $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$  
  
• Nếu k$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ thì k = 0 hoặc $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$
  
• Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ ≠ 0 cùng phương là có một số thực k sao cho $\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{b}$ 
  

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$

Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho  $\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{b}$

$\widehat{AOB} \ (0^\circ \leq \widehat{AOB} \leq 180^\circ)$được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , ký hiệu là  $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$

Chú ý:

• Để xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$
  trong không gian, ta có thể lấy điểm E sao cho $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$ , khi đó $\overrightarrow{AB},(-\overrightarrow{CD})$ = $\angle BAE$
• Quy ước góc giữa một vectơ bất kỳ và $\overrightarrow{0}$  có thể nhận một giá trị tùy ý từ
  $0^\circ$đến

  $180^\circ$.

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

>> Xem thêm: Tính đơn điệu của hàm số

Bài tập về vectơ trong không gian

Bài tập 1:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = 1, BC = 2, AA’ = 3

a) Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BB}$, $\overrightarrow{BA’}$, hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)

c) Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AA’}$

Giải:

a) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA’}$, $\overrightarrow{AB’}$, $\overrightarrow{AC’}$, $\overrightarrow{AD’}$

b) Trong các vectơ $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BB’}$, $\overrightarrow{BA’}$, hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$ có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).

c) $|\overrightarrow{AB}| = 1, |\overrightarrow{BC}| = 2, |\overrightarrow{AA’}| = 3.$