Toán 10 Bài 10 Vecto trong mặt phẳng tọa độ – Kết nối tri thức

Tọa độ của một vecto

– Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm $O$ và một vectơ $\vec{i}$ có độ dài bằng 1. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, vectơ $\vec{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm $M$ trên trục biểu diễn số $x_0$ nếu $\overrightarrow{OM} = x_0 \vec{i}$.

– Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục $Ox, Oy$ có chung gốc $O$ và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục $Ox$ là $\vec{i}$, vectơ đơn vị của trục $Oy$ là $\vec{j}$. Hệ gồm hai trục $Ox, Oy$ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ $Oxy$. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, trục $Ox$ gọi là trục hoành, trục $Oy$ gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ gọi là mặt phẳng tọa độ $Oxy$ hay mặt phẳng $Oxy$.

– Mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $\vec{u} = x_0 \vec{i} + y_0 \vec{j}$.

Ta nói vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(x_0; y_0)$ và viết $\vec{u} = (x_0; y_0)$ hay $\vec{u}(x_0; y_0)$. Các số $x_0$, $y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$.

– Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.
$$\vec{u}(x; y) = \vec{v}(x’; y’) \Leftrightarrow (x = x’, y = y’).$$

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, $\vec{u} = (2; -4)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{u}$ qua vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$.

Hướng dẫn giải:

Vì $\vec{u} = (2; -4)$ nên $\vec{u} = 2\vec{i} + (-4)\vec{j} = 2\vec{i} – 4\vec{j}$.

Vậy $\vec{u} = 2\vec{i} – 4\vec{j}$.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x’; y’)$. Khi đó:

$$\vec{u} + \vec{v} = (x + x’; y + y’),$$
$$\vec{u} – \vec{v} = (x – x’; y – y’),$$
$$k\vec{u} = (kx; ky) \text{ với } k \in \mathbb{R}.$$

Ví dụ: Cho $\vec{u} = (2; 3)$, $\vec{v} = (-1; 2)$.

a) Tìm tọa độ của $\vec{u} + \vec{v}$; $\vec{u} – \vec{v}$.

b) Tìm tọa độ của vectơ $4\vec{u}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:
$$\vec{u} + \vec{v} = (2 + (-1); 3 + 2) = (1; 5),$$
$$\vec{u} – \vec{v} = (2 – (-1); 3 – 2) = (3; 1).$$
Vậy $\vec{u} + \vec{v} = (1; 5)$; $\vec{u} – \vec{v} = (3; 1)$.

b) $4\vec{u} = (4 \cdot 2; 4 \cdot 3) = (8; 12)$.

Vậy $4\vec{u} = (8; 12)$.

Nhận xét:

– Vectơ $\vec{v}(x’; y’)$ cùng phương với vectơ $\vec{u}(x; y) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $x’ = kx$, $y’ = ky$ (hay là $\frac{x’}{x} = \frac{y’}{y}$ nếu $xy \neq 0$).

– Nếu điểm $M$ có tọa độ $(x; y)$ thì vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ $(x; y)$ và độ dài
$$\left| \overrightarrow{OM} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

– Với vectơ $\vec{u} = (x; y)$, ta lấy điểm $M(x; y)$ thì $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$. Do đó
$$\left| \vec{u} \right| = \left| \overrightarrow{OM} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

– Với hai điểm $M(x; y)$ và $N(x’; y’)$, khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $N$ là
$$MN = \left| \overrightarrow{MN} \right| = \sqrt{(x’ – x)^2 + (y’ – y)^2}.$$

>> Xem thêm: Tích vô hướng của hai vecto

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; -2)$, $B(3; 2)$, $C(7; 4)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$.

b) So sánh các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.

c) Ba điểm $A$, $B$, $C$ có thẳng hàng không?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:
$$\overrightarrow{AB} = (3 – 1; 2 – (-2)) = (2; 4),$$
$$\overrightarrow{BC} = (7 – 3; 4 – 2) = (4; 2).$$

b) Các khoảng cách từ $B$ đến $A$ và $C$ lần lượt là:
$$AB = \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},$$
$$BC = \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$
Suy ra $AB = BC = 2\sqrt{5}$.

Vậy khoảng cách từ $B$ đến $A$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $C$.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$ và $\overrightarrow{BC} = (4; 2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2}$).

Do đó các điểm $A$, $B$, $C$ không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

Chú ý:

– Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.

– Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là $\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$.

Hệ thống hóa sơ đồ tư duy vecto trong mặt phẳng tọa độ

Để có thể dễ dàng ghi nhớ lý thuyết về vecto trong mặt phẳng tọa độ các bạn có thể tham khảo sơ đồ tư duy sau đây:

Sơ đồ tư duy hệ thống hóa lý thuyết về vecto trong mặt phẳng tọa độ

Tổng kết

Vecto trong mặt phẳng tọa độ là công cụ hữu ích, giúp đơn giản hóa các bài toán hình học và mở ra nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và thực tiễn. Hy vọng các em đã nắm được toàn bộ lý thuyết bài 10 vectơ trong mặt phẳng tọa độ một cách chi tiết và dễ hiểu qua bài viết trên của kienthucthpt.